初中数学代数专题27换元法【典型应用3】证明相关

【典型应用3】证明相关

（☆☆）【27.3.1】

求证：（m+n）（m+n-2mn）+（mn-1）（mn+1）=（m+n-mn+1）×（m+n-mn-1）.

【解析】

令m+n=a，mn=b．则a（a-2b）+（b+1）（b-1）=a2-2ab+b2-1=（a-b）2-1=（a-b+1）（a-b-1）=（m+n-mn+1）（m+n-mn-1），得证．

（☆☆）【27.3.2】

求证：（y+z-2x）3+（z+x-2y）3+（x+y-2z）3

=3（y+z-2x）（z+x-2y）（x+y-2z）.

【解析】

由于等式两边括号中代数式的一致性，令a=y+z-2x，b=z+x-2y，c=x+y-2z，由于a+b+c=y+z-2x+z+x-2y+x+y-2z=0，故可得a3+b3+c3-3abc=0，即得证．

【备注】

a3+b3+c3-3abc=（a+b+c）（a2+b2+c2-ab-bc-ac），若a+b+c=0，则有a3+b3+c3-3abc=0.

（☆☆☆）【27.3.3】

已知1 989x2=1 991y2=1 993z2，x＞0，y＞0，z＞0，且，求证：.

【解析】

令1 989x2=1 991y2=1 993z3=k（k＞0），则.由于，故，由于，故，故得证．

（☆☆）【27.3.4】

是否存在常数C，使得不等式对任意正数x，y恒成立？

【解析】

设2x+y=3m，x+2y=3n

得x=2m-n，y=2n-m

所以，存在常数C，.

【备注】

本题中运用到了公式.

（☆☆☆）【巩固练习4】