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初中数学代数专题1分类讨论【典型应用4】综合应用

6/16/2021 9:23:20 PM 人评论 次浏览

【典型应用4】综合应用

(☆☆)【1.4.1】

某园艺公司对一块直角三角形的花圃进行改造,测得两直角边长为6m,8m.现要将其扩建成等腰三角形,且扩充部分是以原有的8m为直角边的直角三角形,求扩建后的等腰三角形花圃的周长.

【解析】

已知原来的花圃为Rt△ABC,其中BC=6m,AC=8m,∠ACB=90°.由勾股定理易知AB=10m.

①如图1-1所示,AB=AD,此时AD=10m,CD=6m.故扩建后的等腰三角形花圃的周长为12+10+10=32(m).

图1-1

②如图1-2所示,BD=AB=10m,在Rt△ACD中,由勾股定理得,此时,扩建后的等腰三角形花圃的周长为.

图1-2

③如图1-3所示,DA=DB,设CD=xm,则DA=(x+6)m,在Rt△ACD中,由勾股定理得x2+82=(x+6)2,解得.此时扩建后的等腰三角形花圃的.

图1-3

综上,扩建后等腰三角形花圃的周长为32m或.

(☆☆☆)【1.4.2】

在△ABC中,AC=25,AB=35,,点D为边AC上一点,且AD=5,点EF分别为边AB上的动点(点F在点E的左边),且∠EDF=∠A.设AE=xAF=y.

(1)如图1-4所示,当DFAB时,求AE的长.

图1-4

(2)如图1-5所示,当点EF在边AB上时,求y关于x的函数关系式,并写出函数的定义域.

图1-5

(3)连接CE,当△DEC和△ADF相似时,求x的值.

【解析】

(1)因为DFAB,所以∠AFD=90°,∠A+∠ADF=90°,

因为∠EDF=∠A,所以∠EDF+∠ADF=90°,

即∠ADE=90°,

在Rt△ADE中,∠ADE=90°,AD=5,,所以.

(2)如图1-6所示,过点DDGAB,交ABG.

图1-6

因为∠EDF=∠DAE,∠DEF=∠AED,所以△EDF∽△EAD,所以ED2=AE·EF

因为Rt△AGD中,∠AGD=90°,AD=5,,所以DG=4,AG=3,所以EG=x-3,DE2=42+(x-3)2,所以42+(x-3)2=x·(x-y),所以.

(3)如图1-7所示,因为∠A+∠AFD=∠EDF+∠EDC,且∠EDF=∠A.所以∠ADF=∠EDC.

图1-7

①当∠A=∠CED时,

因为∠EDF=∠A,∠CED=∠FDE,所以DFCE

所以,因为,所以x1=25,x2=5.

②当∠A=∠DCE时,AE=CE=x

因为∠ADF=∠COE,所以△ECD∽△DAF,所以,所以,所以.

综上,当△DEC和△ADF相似时,x=25或x=5或.

(☆☆☆)【1.4.3】

如图1-8所示,在Rt△ABC中,∠C=90°.翻折∠C,使点C落在斜边AB上某一点D处,折痕为EF(点EF分别在边ACBC上),若△CEF与△ABC相似,求:

图1-8

(1)当AC=BC=2时,AD的长为________.

(2)当AC=3,BC=4时,AD的长为________.

【解析】

(1)当AC=BC=2时,△ABC为等腰直角三角形,如图1-9所示.

图1-9

此时DAB边中点,.

(2)当AC=3,BC=4时,有两种情况:

①若CE:CF=3:4,如图1-10所示.

图1-10

因为CE:CF=AC:BC

由折叠性质可知,CDEF,所以CDAB,即此刻CDAB边上的高.

在Rt△ABC中,AC=3,BC=4,所以AB=5,.

②若CF:CE=3:4,如图1-11所示.

图1-11

因为△CEF与△ABC相似,所以∠CEF=∠B.由折叠性质可知,∠CEF+∠ECD=90°,又因为∠A+∠B=90°,所以∠A=∠ECDAD=CD.

同理可得∠B=∠FCDCD=BD.

从而.

综上,当AC=3,BC=4时,AD的长为1.8或2.5.

(☆☆)【巩固练习4】

已知直线l经过A(6,0)和B(0,12)两点,且与直线y=x交于点C.

(1)求直线l的解析式.

(2)若点Px,0)在x轴上运动,是否存在点P,使得△PCA成为等腰三角形?若存在,请写出点P的坐标;若不存在,请说明理由.

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