初中数学代数专题27换元法【典型应用2】因式分解

【典型应用2】因式分解

（☆）【27.2.1】

因式分解：（2x2-x）（4x2-2x+18）+40.

【解析】

比较式子，发现都有2x2-x，所以可以将相同部分整体换元，设2x2-x=y，

则原式=y（2y+18）+40=2y2+18y+40=2（y2+9y+20）=2（y+4）（y+5）=2（2x2-x+4）（2x2-x+5）.

（☆☆）【27.2.2】

因式分解：（x+y-2xy）（x+y-2）+（xy-1）2.

【解析】

原式=（a-2b）（a-2）+（b-1）2=（a-b-1）2=［x（1-y）-（1-y）］2=（1-y）2（x-1）2.

【备注】

当出现x+y和xy，常用换元法进行因式分解，设x+y=a，xy=b（即韦达定理）.

（☆☆☆）【27.2.3】

因式分解：（x+5）4+（x+3）4-82.

【解析】

简单变形可得（x+4+1）4+（x+4-1）4-82，故令x+4=t，则原式=（t+1）4-1+（t-1）4-81=2（t4+6t2-40）=2（t2+10）（t2-4），代回即可得到原式=2（x+2）×（x+6）（x2+8x+26）.

【备注】

（t+1）2=t2+2t+1，（t+1）3=t3+3t2+3t+1，（t+1）4=t4+4t3+6t2+4t+1.

（☆☆☆）【巩固练习3】