初中数学代数专题24待定系数法【典型应用2】整式除法

【典型应用2】整式除法

（☆☆）【24.2.1】

当m，n为何值时，多项式x4-5x3+11x2+mx+n能被x2-2x+1整除？

【解析】

设商式为x2+px+n，所以

x4-5x3+11x2+mx+n=（x2+px+n）（x2-2x+1）=x4+（p-2）x3+（n-2p+1）x2+（p-2n）x+n

由各对应项的系数相等，解得m=-11，n=4.

（☆☆）【24.2.2】

若3x3+hx2-5x+k恰好能被x+3整除，被x+1除余数为4，求h，k，并将多项式3x3+hx2-5x+k进行因式分解．

【解析】

记f（x）=3x3+hx2-5x+k，则代入得解得h=8，k=-6．所以f（x）=3x3+8x2-5x-6，由于f（x）必有因式x+3，设其商式为ax2+bx+c，比较系数可以得到f（x）=（x+3）（ax2+bx+c）=3x3+8x2-5x-6，

所以f（x）=（x+3）（3x2-x-2）=（x+3）（x-1）（3x+2）.

（☆☆☆）【24.2.3】

已知多项式x3+bx2+cx+d的系数都是整数．若bd+cd是奇数，求证：这个多项式不能分解成两个整系数多项式的乘积．

【解析】

假设原多项式可以分解因式，设

x3+bx2+cx+d=（x+m）（x2+nx+r）　　①，

m，n，r都是整数，比较系数得mr=d，因为bd+cd=d（b+c）是奇数，那么d=mr，b+c也为奇数，可见m，r也都是奇数．

在式①中，令x=1，得1+b+c+d=（1+m）（1+n+r）．左边因为b+c，d=mr都是奇数，故1+b+c+d是奇数；右边因为m为奇数，故m+1为偶数，因此右边为偶数．

显然，奇数≠偶数，原假设不成立．因此题中的多项式不能分解为两个整系数多项式的乘积．

（☆☆☆）【巩固练习2】