初中数学代数专题21拆项添项法【典型应用3】恒等式证明

【典型应用3】恒等式证明

（☆）【21.3.1】

设a，b，c，d是整数，m=a2+b2，n=c2+d2，求证：mn也是两个整数平方和．

【解析】

mn=（a2+b2）（c2+d2）=a2c2+a2d2+b2c2+b2d2
=a2c2+2abcd+b2d2+a2d2-2abcd+b2c2=（ac+bd）2+（ad-bc）2，得证．

（☆☆）【21.3.2】

已知a4+b4+c4+d4=4abcd，且a，b，c，d都是正整数，求证：a=b=c=d.

【解析】

由于a4+b4+c4+d4=4abcd，（a2-b2）2+（c2-d2）2+2a2b2+2c2d2=4abcd，（a2-b2）2+（c2-d2）2+2（ab-cd）2=0，从而有a2-b2=0，c2-d2=0，ab-cd=0，从而a=b=c=d得证．

（☆☆）【巩固练习3】