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初中数学代数专题16判别式法【典型应用3】证明相关

6/16/2021 9:23:20 PM 人评论 次浏览

【典型应用3】证明相关

(☆)【16.3.1】

a+bc>0,|a-b|<c,求证:二次方程a2x2+(b2+a2-c2x+b2=0没有实数根.

【解析】

Δ=(b2+a2-c22-4a2·b2=[(a-b2-c2][(a+b2-c2

由于a+bc>0,|a-b|<c,可得(a-b2-c2<0,(a+b2-c2>0,故Δ<0,因此二次方程没有实数根.

(☆☆)【16.3.2】

已知abc是△ABC的三边的长,方程有两个相等的实数根,求证:△ABC是等腰三角形.

【解析】

由于方程有两个相等的实数根,

,化简得(a-c)(2a+3b+c)=0.由a>0,b>0,c>0,有2a+3b+c>0,此时a-c=0,即a=c,△ABC是等腰三角形.

(☆☆)【16.3.3】

已知实数abc满足,求证b2≥4ac.

【解析】

分类讨论,当a=0时,无论bc为何值,b2≥4ac=0总是成立的;当a≠0时,由a×,也就是说方程ax2+bx+c=0有实根,故Δ=b2-4ac≥0即b2≥4ac.综合分类情况即得证.

(☆☆☆)【巩固练习3】

设实数abc满足a+b+c=2,且对任何实数t,有-t2+2tab+bc+ca≤9t2+18t+10.求证:.

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