初中数学代数专题16判别式法【典型应用3】证明相关

【典型应用3】证明相关

（☆）【16.3.1】

设a+b＞c＞0，|a-b|＜c，求证：二次方程a2x2+（b2+a2-c2）x+b2=0没有实数根．

【解析】

Δ=（b2+a2-c2）2-4a2·b2=［（a-b）2-c2］［（a+b）2-c2］

由于a+b＞c＞0，|a-b|＜c，可得（a-b）2-c2＜0，（a+b）2-c2＞0，故Δ＜0，因此二次方程没有实数根．

（☆☆）【16.3.2】

已知a，b，c是△ABC的三边的长，方程有两个相等的实数根，求证：△ABC是等腰三角形．

【解析】

由于方程有两个相等的实数根，

即，化简得（a-c）（2a+3b+c）=0.由a＞0，b＞0，c＞0，有2a+3b+c＞0，此时a-c=0，即a=c，△ABC是等腰三角形．

（☆☆）【16.3.3】

已知实数a，b，c满足，求证b2≥4ac.

【解析】

分类讨论，当a=0时，无论b，c为何值，b2≥4ac=0总是成立的；当a≠0时，由a×，也就是说方程ax2+bx+c=0有实根，故Δ=b2-4ac≥0即b2≥4ac．综合分类情况即得证．

（☆☆☆）【巩固练习3】