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初中数学代数专题10【典型应用1】因式分解【典型应用】综合题

6/16/2021 9:23:20 PM 人评论 次浏览

【典型应用】综合题

(☆☆☆)【10.1.1】

如图10-1所示,在半径为2的扇形AOB中,∠AOB=90°,点C是弧AB上的一个动点(不与点AB重合).ODBCOEAC,垂足分别为DE.

图10-1

(1)当BC=1时,求线段OD的长.

(2)在△DOE中是否存在长度保持不变的边?如果存在,请指出并求其长度;如果不存在,请说明理由.

(3)设BD=x,△DOE的面积为y,求y关于x的函数关系式,并写出它的定义域.

【解析】

由分析综合得:

(1)根据ODBC可得出,在Rt△BOD中利用勾股定理即可求出OD的长为.

(2)如图10-2所示,连接AB,由△AOB是等腰直角三角形可得出AB的长.再根据DE是中点可得出.

图10-2

(3)如图10-3所示,由BD=x,可知CD=x.由于∠1=∠2,∠3=∠4,所以∠2+∠3=45°.过DDFOE,连,即可得出结论:.

图10-3

(☆☆☆)【10.1.2】

如图10-4所示,已知抛物线b是实数且b>2)与x轴的正半轴分别交于点AB(点A位于点B的左侧),与y轴的正半轴交于点C.

图10-4

(1)点B的坐标为________,点C的坐标为________(用含b的代数式表示).

(2)请你探索在第一象限内是否存在点P,使得四边形PCOB的面积等于2b,且△PBC是以点P为直角顶点的等腰直角三角形?如果存在,求出点P的坐标;如果不存在,请说明理由.

(3)请你进一步探索在第一象限内是否存在点Q,使得△QCO,△QOA和△QAB中的任意两个三角形均相似(全等可作相似的特殊情况)?如果存在,求出点Q的坐标;如果不存在,请说明理由.

【解析】

(1)令,解关于x的一元二次方程即可求出AB横坐标,令x=0,求出y的值即C的纵坐标,故得B(0,b),.

(2)如图10-5所示,过点PPDx轴,PEy轴,垂足分别为DE,那么△PDB≌△PEC.因此PD=PE.设点P的坐标为(xx).如图10-6所示,连接OP.所以.解得.所以存在点P,点P的坐标为.

图10-5

图10-6

(3)由,得A(1,0),OA=1.

①如图10-7所示,以OAOC为邻边构造矩形OAQC,那么△OQC≌△QOA.当,即QA2=BA·OA时,△BQA∽△QOA.所以.解得.所以符合题意的点Q为().

图10-7

②如图10-8所示,以OC为直径的圆与直线x=1交于点Q,那么∠OQC=90°.因此△OCQ∽△QOA.当时,△BQA∽△QOA.此时∠OQB=90°.所以CQB三点共线.因此,即.解得QA=4.此时点Q为(1,4).

图10-8

综上,存在点Q,点Q坐标为或(1,4).

(☆☆☆)【巩固练习1】

已知抛物线C1的函数解析式为y=ax2+bx-3ab<0),若抛物线C1经过点(0,-3),方程ax2+bx-3a=0的两根为x1x2,且|x1-x2|=4.

(1)求抛物线C1的顶点坐标.

(2)已知实数x>0,请证明,并说明x为何值时才会有.

(3)若抛物线先向上平移4个单位,再向左平移1个单位后得到抛物线C2,设Amy1),Bny2)是C2上的两个不同点,且满足∠AOB=90°,m>0,n<0.请你用含有m的表达式表示出△AOB的面积S,并求出S的最小值及S取最小值时一次函数OA的函数解析式。

(参考公式:在平面直角坐标系中,若Px1y1),Qx2y2),则PQ两点间的距离为.)

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