初中数学代数专题10【典型应用1】因式分解【典型应用】综合题

【典型应用】综合题

（☆☆☆）【10.1.1】

如图10-1所示，在半径为2的扇形AOB中，∠AOB=90°，点C是弧AB上的一个动点（不与点A，B重合）.OD⊥BC，OE⊥AC，垂足分别为D，E.

图10-1

（1）当BC=1时，求线段OD的长．

（2）在△DOE中是否存在长度保持不变的边？如果存在，请指出并求其长度；如果不存在，请说明理由．

（3）设BD=x，△DOE的面积为y，求y关于x的函数关系式，并写出它的定义域．

【解析】

由分析综合得：

（1）根据OD⊥BC可得出，在Rt△BOD中利用勾股定理即可求出OD的长为.

（2）如图10-2所示，连接AB，由△AOB是等腰直角三角形可得出AB的长．再根据D和E是中点可得出.

图10-2

（3）如图10-3所示，由BD=x，可知CD=x．由于∠1=∠2，∠3=∠4，所以∠2+∠3=45°．过D作DF⊥OE，连，即可得出结论：.

图10-3

（☆☆☆）【10.1.2】

如图10-4所示，已知抛物线（b是实数且b＞2）与x轴的正半轴分别交于点A，B（点A位于点B的左侧），与y轴的正半轴交于点C.

图10-4

（1）点B的坐标为________，点C的坐标为________（用含b的代数式表示）.

（2）请你探索在第一象限内是否存在点P，使得四边形PCOB的面积等于2b，且△PBC是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．

（3）请你进一步探索在第一象限内是否存在点Q，使得△QCO，△QOA和△QAB中的任意两个三角形均相似（全等可作相似的特殊情况）？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．

【解析】

（1）令，解关于x的一元二次方程即可求出A，B横坐标，令x=0，求出y的值即C的纵坐标，故得B（0，b），.

（2）如图10-5所示，过点P作PD⊥x轴，PE⊥y轴，垂足分别为D，E，那么△PDB≌△PEC．因此PD=PE．设点P的坐标为（x，x）．如图10-6所示，连接OP.所以.解得.所以存在点P，点P的坐标为.

图10-5

图10-6

（3）由，得A（1，0），OA=1.

①如图10-7所示，以OA，OC为邻边构造矩形OAQC，那么△OQC≌△QOA．当，即QA2=BA·OA时，△BQA∽△QOA．所以.解得．所以符合题意的点Q为（）.

图10-7

②如图10-8所示，以OC为直径的圆与直线x=1交于点Q，那么∠OQC=90°.因此△OCQ∽△QOA．当时，△BQA∽△QOA．此时∠OQB=90°．所以C，Q，B三点共线．因此，即.解得QA=4．此时点Q为（1，4）.

图10-8

综上，存在点Q，点Q坐标为或（1，4）.

（☆☆☆）【巩固练习1】