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初中数学代数专题7反证法【典型应用2】“至少”“至多”型命题

6/16/2021 9:23:20 PM 人评论 次浏览

【典型应用2】“至少”“至多”型命题

(☆☆)【7.2.1】

abc是不全相等的实数,若x=a2-bcy=b2-acz=c2-ab,求证:xyz中至少有一个大于零.

【解析】

假设xyz都不大于零.

x+y+z=a2-bc+b2-ac+c2-ab≤0.

而2(x+y+z)=2(a2-bc+b2-ac+c2-ab)=(a-b2+(b-c2+(a-c2≥0.

所以只能x+y+z=0,即(a-b2+(b-c2+(a-c2=0.

此时a=b=c,这与已知条件abc是不全相等的实数矛盾,所以xyz中至少有一个大于零.

(☆☆)【7.2.2】

,求证:xyz中至少有一个等于1.

【解析】

假设xyz中都不等于1,则(x-1)(y-1)(z-1)≠0.

xyz-xy-xz+x-yz+y+z-1≠0,又因为x+y+z=1,所以xyz-xy-xz-yz≠0.

两边同除xyz并整理得,与已知条件矛盾,所以xyz中至少有一个等于1.

(☆☆☆)【巩固练习2】

已知:fx)=x2+px+q,求证:|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|中至少有一个不小于.

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