初中数学代数专题7反证法【典型应用1】方程与不等式

【典型应用1】方程与不等式

（☆☆）【7.1.1】

已知a，b，c都是奇数，求证：方程ax2+bx+c=0没有整数解．

【解析】

设方程有整数解x，若x为奇数，则方程的左边ax2，bx，c都是奇数，则左边的ax2+bx+c是奇数，右边0为偶数，所以等式不成立．若方程的整数解x为偶数，那么ax2，bx都是偶数，又因为c为奇数，所以ax2+bx+c仍是奇数，等式依然不成立．所以方程的解既不可能是奇数，也不可能是偶数，所以方程ax2+bx+c=0没有整数解．

（☆☆）【7.1.2】

求证：当x2+bx+c2=0有两个不相等的非零实数根时，必有bc≠0.

【解析】

bc≠0的否定是bc=0，而bc=0有三种情况：①b=0，c=0；②b=0，c≠0；③b≠0，c=0.

证明如下：假设bc=0.

①若b=0，c=0，方程变为x2=0，那么x1=x2=0是方程x2+bx+c2=0的根．

②若b=0，c≠0，方程变为x2+c2=0，x2=-c2，又因为c≠0，所以x无解．

③若b≠0，c=0，方程变为x2+bx=0，方程的根为x1=0，x2=-b.

上述三种情况均与已知条件中“方程有两个不相等的非零实数根”矛盾．所以bc≠0.

【备注】

证明“不等于”往往比较困难，所以通过反证法将其转化为“等于”问题来证明．

（☆☆）【7.1.3】

已知0＜a，b，c＜1，求证：（1-a）b，（1-b）c，（1-c）a不可能同时大于.

【解析】

假设（1-a）b，（1-b）c，（1-c）a同时大于，则

即，将三式相加

得，矛盾．所以（1-a）b，（1-b）c，（1-c）a不可能同时大于.

（☆☆☆）【7.1.4】

设实数a0，a1，a2，…，an-1，an满足：a0=an=0，a0-2a1+a2≥0，a1-2a2+a3≥0，…，an-2-2an-1+an≥0．求证：ai≤0（i=1，2，…，n）.

【解析】

设ar是a0，a1，a2，…，an-1，an中的第一个正数，即a1≤0，a2≤0，…，ar-1≤0，ar＞0

则ar-ar-1＞0．由已知条件变形得ai+1-ai≥ai-ai-1（i=1，2，…，n-1）．所以当i≥r时，ar-ar-1＞0，ar+1-ar＞0，…，an-an-1＞0．所以0＜ar＜ar+1＜…＜an，与已知条件an=0矛盾．

（☆☆☆）【巩固练习1】