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初中数学代数专题7反证法【典型应用1】方程与不等式

6/16/2021 9:23:20 PM 人评论 次浏览

【典型应用1】方程与不等式

(☆☆)【7.1.1】

已知abc都是奇数,求证:方程ax2+bx+c=0没有整数解.

【解析】

设方程有整数解x,若x为奇数,则方程的左边ax2bxc都是奇数,则左边的ax2+bx+c是奇数,右边0为偶数,所以等式不成立.若方程的整数解x为偶数,那么ax2bx都是偶数,又因为c为奇数,所以ax2+bx+c仍是奇数,等式依然不成立.所以方程的解既不可能是奇数,也不可能是偶数,所以方程ax2+bx+c=0没有整数解.

(☆☆)【7.1.2】

求证:当x2+bx+c2=0有两个不相等的非零实数根时,必有bc≠0.

【解析】

bc≠0的否定是bc=0,而bc=0有三种情况:①b=0,c=0;②b=0,c≠0;③b≠0,c=0.

证明如下:假设bc=0.

①若b=0,c=0,方程变为x2=0,那么x1=x2=0是方程x2+bx+c2=0的根.

②若b=0,c≠0,方程变为x2+c2=0,x2=-c2,又因为c≠0,所以x无解.

③若b≠0,c=0,方程变为x2+bx=0,方程的根为x1=0,x2=-b.

上述三种情况均与已知条件中“方程有两个不相等的非零实数根”矛盾.所以bc≠0.

【备注】

证明“不等于”往往比较困难,所以通过反证法将其转化为“等于”问题来证明.

(☆☆)【7.1.3】

已知0<abc<1,求证:(1-ab,(1-bc,(1-ca不可能同时大于.

【解析】

假设(1-ab,(1-bc,(1-ca同时大于,则

,将三式相加

,矛盾.所以(1-ab,(1-bc,(1-ca不可能同时大于.

(☆☆☆)【7.1.4】

设实数a0a1a2,…,an-1an满足:a0=an=0,a0-2a1+a2≥0,a1-2a2+a3≥0,…,an-2-2an-1+an≥0.求证:ai≤0(i=1,2,…,n).

【解析】

ara0a1a2,…,an-1an中的第一个正数,即a1≤0,a2≤0,…,ar-1≤0,ar>0

ar-ar-1>0.由已知条件变形得ai+1-aiai-ai-1i=1,2,…,n-1).所以当ir时,ar-ar-1>0,ar+1-ar>0,…,an-an-1>0.所以0<arar+1<…<an,与已知条件an=0矛盾.

(☆☆☆)【巩固练习1】

已知下列三个方程:x2+4ax-4a+3=0,x2+(a-1)x+a2=0,x2+2ax-2a=0至少有一个方程有实根,求实数a的取值范围.

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