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初中数学代数专题6公式法【典型应用4】证明相关

6/16/2021 9:23:20 PM 人评论 次浏览

【典型应用4】证明相关

(☆☆☆)【6.4.1】

已知abc都是自然数,a+b+c=1,求证:.

【解析】

由于当时,符合条件且能使结论中的等号成立,此时a2b2c2的值都是.同时考虑到要将次数降到一次才好利用已知条件,所以为它们都配上,由此利用基本不等式a2+b2≥2ab,可得.三式相加得,故得证.

【备注】

基本不等式:a2+b2≥2ab(当且仅当a=b时等号成立).

(☆☆☆)【6.4.2】

设|a|+|b|<1,且关于x的一元二次方程x2+ax+b=0有实根.求证:关于x的一元二次方程x2+ax+b=0的两根的绝对值均小于1.

【解析】

设关于x的一元二次方程的两个实根为x1x2(|x1|>|x2|).由韦达定理,x1+x2=-ax1x2=b.故|a|+|b|=|-a|+|b|=|x1+x2|+|x1x2|<1,由于|x1|-|x2|≤|x1+x2|,|x1x2|=|x1|·|x2|,故|x1|-|x2|+|x1|·|x2|≤|x1+x2|+|x1x2|<1,(|x1|-1)(|x2|+1)<0.由于|x2|+1>0,故|x1|-1<0,|x1|<1,|x2|<|x1|<1.故得证.

【备注】

|x|-|y|≤|x±y|≤|x|+|y|(当且仅当x=y等号成立).

(☆☆)【巩固练习4】

求证:a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca).

【备注】

特别地,当a+b+c=0时,a3+b3+c3=3abc.

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