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初中数学代数专题4数形结合【典型应用2】几何相关

6/16/2021 9:23:20 PM 人评论 次浏览

【典型应用2】几何相关

(☆☆)【4.2.1】

如图4-4所示,正方形ABCD的边长为,过点AAEACAE=1,连接BE,求tan E的值.

图4-4

【解析】

如图4-5所示,延长CA使AF=AE,连接BF,过点BBGAC,垂足为G,易证△BAF≌△BAE,得出∠E=∠F,在Rt△BGF中,求出tan F,进而求出.

图4-5

(☆☆)【4.2.2】

如图4-6所示,∠C=∠D=90°,EFAB,点F为垂足.求证:AB2=AE·AD+BE·BC.

图4-6

【解析】

设∠EAB=α,∠EBA=β,则有Rt△AFE,Rt△ABC,Rt△BFE和Rt△ADB中,BC=AB·cosβAD=AB·cosα,所以.

(☆☆)【4.2.3】

如图4-7所示,在△ABC中,ACBCADBCBEAC,点DE分别为垂足.求证:AC+BEBC+AD.

图4-7

【解析】

AC=bBC=a,则ba.

在Rt△ADC和Rt△CEB中,有AD=b·sin CBE=a·sin C.

因为0°<C<180°,所以0<sin C≤1,

所以AD-BE=(b-a)sin Cb-a=AC-BC.

AC+BEAD+BC,其中当且仅当∠C=90°时等号成立.

(☆☆☆)【4.2.4】

如图4-8所示,正方形ABCD的边长是2,MAD的中点,点E从点A出发,沿AB运动到点B停止,连接EM并延长交射线CD于点F,过MEF的垂线交射线BC于点G,连接EGFG.

图4-8

(1)设AE=x时,△EGF的面积为y,求y关于x的函数关系式,并填写自变量x的取值范围.

(2)PMG的中点,请直接写出点P运动路线的长.

【解析】

(1)当点E与点A重合时,x=0,;当点E与点A不重合时,0<x≤2.在正方形ABCD中,∠A=∠ADC=90°,所以∠MDF=90°,所以∠A=∠MDF.因为AM=DM,∠AME=∠DMF,所以△AME≌△DMFME=MF.

在Rt△AME中,AE=xAM=1,,所以.

如图4-9所示,过点MMNBC.则∠MNG=90°,∠AMN=90°,MN=AB=AD=2AM,所以∠AME+∠EMN=90°.因为∠EMG=90°,所以∠GMN+∠EMN=90°,∠AME=∠GMN,Rt△AME∽Rt△NMG.所以,即.所以.所以.所以y=2x2+2,其中0≤x≤2.

图4-9

(2)点P运动路径的长为2.

【备注】

P运动轨迹是一条直线,所以以B为坐标轴原点,以BCx轴正方向,以BAy轴正方向建立坐标系,只需分别求出当EA重合、当EB重合时点P的坐标,再求两点间距离即可.

(☆☆)【巩固练习2】

如图4-10所示,△ABC为等边三角形,边长为aDFABEFAC,已知ADFE四点共圆,已知,求此圆直径.

图4-10

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