【典型应用3】综合应用
（☆☆）【3.3.1】
已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图像经过点（3，5），（2，8），（0，8）.
（1）求这个二次函数的解析式．
（2）已知抛物线y1=a1x2+b1x+c1（a1≠0），y2=a2x2+b2x+c2（a2≠0），且满足
，则我们称抛物线y1与y2互为“友好抛物线”，请写出当
时第（1）小题中的抛物线的友好抛物线，并求出这条友好抛物线的顶点坐标．
【解析】
（1）易得这个抛物线的解析式是y=-x2+2x+8.
（2）根据题意，得
或
，
所以友好抛物线的解析式是y=2x2-4x-16或
，顶点坐标为（1，-18）或
.
（☆☆☆）【3.3.2】
已知一次函数y=x+1的图像和二次函数y=x2+bx+c的图像都经过A，B两点，且点A在y轴上，点B的纵坐标为5.
（1）求这个二次函数的解析式．
（2）将此二次函数图像的顶点记作点P，求△ABP的面积．
（3）已知点C，D在射线AB上，且点D的横坐标比点C的横坐标大2，点E，F在这个二次函数图像上，且CE，DF与y轴平行，当CF∥ED时，求点C坐标．
【解析】
（1）易得点A坐标为（0，1），将y=5代入y=x+1，得x=4，所以点B坐标为（4，5），将A，B两点坐标代入y=x2+bx+c，解得二次函数解析式为y=x2-3x+1.
图3-1
（2）点
，抛物线对称轴与直线AB的交点记作点G，则
，所以
，故
.
（3）设点C（a，a+1），点D（a+2，a+3），点E（a，a2-3a+1），点F（a+2，a2+a-1）．由题意，得CE=-a2+4a，DF=a2-4．因为CE，DF与y轴平行，所以CE∥FD，又因为CF∥ED，所以四边形CEDF是平行四边形．所以CE=DF，即-a2+4a=a2-4，解得
（负值不合题意，舍去）．综上所述，
.
（☆☆☆）【3.3.3】
如图3-2所示，直线y=x+1与x轴，y轴分别交于点A，B．抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与y轴的正半轴相交于点C，与这个一次函数的图像相交于A，D，且
.
图3-2
（1）求点A，B，C的坐标．
（2）如果∠CDB=∠ACB，求抛物线y=ax2+bx+c的解析式．
【解析】
（1）易得点A（-1，0），点B（0，1）．因为AO=1，在Rt△AOC中，
，
，所以
，所以点C（0，3）.
（2）①当点D在AB延长线上时，因为B（0，1），所以BO=1，
．因为∠CDB=∠ACB，∠BAC=∠CAD，所以△ABC∽△ACD，所以
，所以
．过点D作DE⊥y轴，垂足为E，因为DE⊥AO，
，
，所以
．又因为△BED是等腰直角三角形，所以BE=DE=4，所以OE=5，所以点D的坐标为（4，5）．将点A，C，D坐标代入，易得二次函数解析式为
.
图3-3
②当点D在BA延长线或线段BA上时，同理可求得点D的坐标为（-2，-1），所以二次函数解析式为y=x2+4x+3.
综上所述，如果∠CDB=∠ACB，则抛物线的解析式为
或y=x2+4x+3.
（☆☆☆）【巩固练习3】
在矩形ABCD中，AB=8cm，BC=10cm，现将矩形ABCD向右平移xcm，再向下平移（x+1）cm后到矩形A′B′C′D′的位置．
（1）如图3-4所示，用x的代数式表示矩形ABCD与矩形A′B′C′D′的重叠部分的面积，这时x应满足怎样的条件？
图3-4
（2）如图3-4所示，用x的代数式表示六边形ABB′C′D′D（阴影部分）的面积．
（3）当这两个矩形没有重叠部分时，第（2）小题的结论是否改变，请说明理由．