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初中数学代数专题2方程函数【典型应用4】综合应用

6/16/2021 9:23:20 PM 人评论 次浏览

【典型应用4】综合应用

(☆☆☆)【2.4.1】

如图2-10所示,已知抛物线的方程C1x轴交于点BC,与y轴交于点E,且点B在点C的左侧.

图2-10

(1)若抛物线C1过点M(2,2),求实数m的值.

(2)在(1)的条件下,求△BCE的面积.

(3)在(1)的条件下,在抛物线的对称轴上找一点H,使得BH+EH最小,求出点H的坐标.

(4)在第四象限内,抛物线C1上是否存在点F,使得以点BCF为顶点的三角形与△BCE相似?若存在,求m的值;若不存在,请说明理由.

【解析】

(1)将M(2,2)代入,得.解得m=4.

(2)当m=4时,.所以B(-2,0),C(4,0),E(0,2).

(3)如图2-11所示,抛物线的对称轴是直线x=1,当点H落在线段EC上时,BH+EH最小.设对称轴与x轴的交点为P,那么.因此.解得.所以点H的坐标为.

图2-11

(4)①如图2-12所示,过点BEC的平行线交抛物线于点F,过点FFF′x轴于F′.由于∠BCE=∠FBC,所以当,即BC2=CE·BF时,△BCE∽△FBC.设点F的坐标为,由,得.解得x=m+2.所以F′(m+2,0).由,得.所以.由BC2=CE·BF,得.整理得0=16.此方程无解.

图2-12

②如图2-13所示,作∠CBF=45°交抛物线于点F,过点FFF′x轴于F′,由于∠EBC=∠CBF,所以,即BC2=BE·BF时,△BCE∽△BFC.在Rt△BFF′中,由FF′=BF′,得.解得x=2m.所以F′(2m,0).所以.由BC2=BE·BF,得.解得.

图2-13

综合①②,符合题意的m.

(☆☆☆)【2.4.2】

如图2-14所示,抛物线经过点A(4,0),B(1,0),C(0,-2)三点.

图2-14

(1)求此抛物线的解析式.

(2)点P是抛物线上的一个动点,过点PPMx轴,垂足为点M,是否存在点P,使得以APM为顶点的三角形与△OAC相似?若存在,请求出符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由.

(3)在直线AC上方的抛物线是有一点D,使得△DCA的面积最大,求出点D的坐标.

【解析】

(1)因为抛物线与x轴交于A(4,0),B(1,0)两点,设抛物线的解析式为y=ax-1)(x-4),代入点C的坐标(0,-2),解得.所以抛物线的解析式为.

(2)设点P的坐标为.

①如图2-15所示,当点Px轴上方时,1<x<4,AM=4-x.如果,那么.解得x=5不合题意.如果,那么.解得x=2.此时点P的坐标为(2,1).

图2-15

②如图2-16所示,当点P在点A的右侧时,x>4,AM=x-4.解方程,得x=5,此时点P的坐标为(5,-2).解方程,得x=2,不合题意.

图2-16

③如图2-17所示,当点P在点B的左侧时,x<1,AM=4-x.解方程,得x=-3.此时点P的坐标为(-3,-14).解方程,得x=0.此时点P与点O重合,不合题意.

图2-17

综上所述,符合条件的点P的坐标为(2,1)或(-3,-14)或(5,-2).

(3)如图2-18所示,过点Dx轴的垂线交ACE.直线AC的解析式为.设点D的横坐标为m(1<m<4),那么点D的坐标为,点E的坐标为.所以.因此.当m=2时,△DCA的面积最大,此时点D的坐标为(2,1).

图2-18

【巩固练习4】

如图2-19所示,点Ax轴上,OA=4,将线段OA绕点O顺时针旋转120°至OB的位置.

图2-19

(1)求点B的坐标.

(2)求经过AOB的抛物线的解析式.

(3)在此抛物线的对称轴上,是否存在点P,使得以点POB为顶点的三角形是等腰三角形?若存在,求点P的坐标;若不存在,请说明理由.

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