【典型应用4】综合应用
(☆☆☆)【2.4.1】
如图2-10所示,已知抛物线的方程C1:与x轴交于点B,C,与y轴交于点E,且点B在点C的左侧.
图2-10
(1)若抛物线C1过点M(2,2),求实数m的值.
(2)在(1)的条件下,求△BCE的面积.
(3)在(1)的条件下,在抛物线的对称轴上找一点H,使得BH+EH最小,求出点H的坐标.
(4)在第四象限内,抛物线C1上是否存在点F,使得以点B,C,F为顶点的三角形与△BCE相似?若存在,求m的值;若不存在,请说明理由.
【解析】
(1)将M(2,2)代入,得.解得m=4.
(2)当m=4时,.所以B(-2,0),C(4,0),E(0,2).
(3)如图2-11所示,抛物线的对称轴是直线x=1,当点H落在线段EC上时,BH+EH最小.设对称轴与x轴的交点为P,那么.因此.解得.所以点H的坐标为.
图2-11
(4)①如图2-12所示,过点B作EC的平行线交抛物线于点F,过点F作FF′⊥x轴于F′.由于∠BCE=∠FBC,所以当,即BC2=CE·BF时,△BCE∽△FBC.设点F的坐标为,由,得.解得x=m+2.所以F′(m+2,0).由,得.所以.由BC2=CE·BF,得.整理得0=16.此方程无解.
图2-12
②如图2-13所示,作∠CBF=45°交抛物线于点F,过点F作FF′⊥x轴于F′,由于∠EBC=∠CBF,所以,即BC2=BE·BF时,△BCE∽△BFC.在Rt△BFF′中,由FF′=BF′,得.解得x=2m.所以F′(2m,0).所以.由BC2=BE·BF,得.解得.
图2-13
综合①②,符合题意的m为.
(☆☆☆)【2.4.2】
如图2-14所示,抛物线经过点A(4,0),B(1,0),C(0,-2)三点.
图2-14
(1)求此抛物线的解析式.
(2)点P是抛物线上的一个动点,过点P作PM⊥x轴,垂足为点M,是否存在点P,使得以A,P,M为顶点的三角形与△OAC相似?若存在,请求出符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由.
(3)在直线AC上方的抛物线是有一点D,使得△DCA的面积最大,求出点D的坐标.
【解析】
(1)因为抛物线与x轴交于A(4,0),B(1,0)两点,设抛物线的解析式为y=a(x-1)(x-4),代入点C的坐标(0,-2),解得.所以抛物线的解析式为.
(2)设点P的坐标为.
①如图2-15所示,当点P在x轴上方时,1<x<4,,AM=4-x.如果,那么.解得x=5不合题意.如果,那么.解得x=2.此时点P的坐标为(2,1).
图2-15
②如图2-16所示,当点P在点A的右侧时,x>4,,AM=x-4.解方程,得x=5,此时点P的坐标为(5,-2).解方程,得x=2,不合题意.
图2-16
③如图2-17所示,当点P在点B的左侧时,x<1,,AM=4-x.解方程,得x=-3.此时点P的坐标为(-3,-14).解方程,得x=0.此时点P与点O重合,不合题意.
图2-17
综上所述,符合条件的点P的坐标为(2,1)或(-3,-14)或(5,-2).
(3)如图2-18所示,过点D作x轴的垂线交AC于E.直线AC的解析式为.设点D的横坐标为m(1<m<4),那么点D的坐标为,点E的坐标为.所以.因此.当m=2时,△DCA的面积最大,此时点D的坐标为(2,1).
图2-18
【巩固练习4】
如图2-19所示,点A在x轴上,OA=4,将线段OA绕点O顺时针旋转120°至OB的位置.
图2-19
(1)求点B的坐标.
(2)求经过A,O,B的抛物线的解析式.
(3)在此抛物线的对称轴上,是否存在点P,使得以点P,O,B为顶点的三角形是等腰三角形?若存在,求点P的坐标;若不存在,请说明理由.